平方關(guān)系研究新進(jìn)展：“偽”極點(diǎn)到“真”極點(diǎn)的轉(zhuǎn)變
盡管規(guī)范場(chǎng)和引力有非常不同的性質(zhì)，它們之間存在一些深刻的、甚至是很直接的聯(lián)系。一個(gè)著名的聯(lián)系是“全息對(duì)偶”，它表明d維時(shí)空的引力理論可以對(duì)偶于其時(shí)空邊界上(d-1)維時(shí)空的規(guī)范場(chǎng)論。另一個(gè)聯(lián)系是基于散射振幅研究所發(fā)現(xiàn)的“平方關(guān)系”，即引力振幅可以用規(guī)范場(chǎng)振幅的“平方”來描述，比如早期基于弦理論的KLT平方關(guān)系[1]，以及近年來基于色動(dòng)量對(duì)偶的BCJ平方關(guān)系[2]。
圖1：規(guī)范場(chǎng)和引力的兩種聯(lián)系：全息對(duì)偶和平方關(guān)系。
除了散射振幅，場(chǎng)論中的局域算符也是重要物理量。一個(gè)自然的問題是，包含算符的物理量的“平方”是否存在？如果存在又有哪些性質(zhì)呢? 理論物理所的楊剛研究員和原研究助理林冠達(dá)（北京大學(xué)本科畢業(yè)，目前為加州伯克利分校在讀研究生）在這一問題的研究上取得新進(jìn)展，首次將平方關(guān)系推廣到了包含局域算符的物理量——形狀因子。
圖2：形狀因子的特點(diǎn)是既包含漸進(jìn)物理態(tài)又包含局域算符，所以可以作為連接散射振幅和關(guān)聯(lián)函數(shù)的橋梁。
這一研究發(fā)現(xiàn)了獨(dú)特的新現(xiàn)象，即規(guī)范場(chǎng)理論中的“偽極點(diǎn)”通過平方關(guān)系可以轉(zhuǎn)化成引力理論中真實(shí)的“物理極點(diǎn)”。場(chǎng)論中物理量的極點(diǎn)有重要的物理意義，比如可以理解為粒子在時(shí)空中的傳播，即費(fèi)曼圖的傳播子。而這里的“偽”極點(diǎn)是指這些極點(diǎn)只是形式上存在，物理量在“偽”極點(diǎn)上并不發(fā)散。研究表明，盡管這些“偽”極點(diǎn)隱藏于規(guī)范場(chǎng)理論的形狀因子中，并不表現(xiàn)出通常極點(diǎn)的發(fā)散性質(zhì)，但通過平方關(guān)系這面“照妖鏡”，這些極點(diǎn)在引力理論中精確地顯示了出來。這一機(jī)制有著深刻的物理原因，本質(zhì)上和引力的萬有屬性緊密相關(guān)。粗略地說，規(guī)范場(chǎng)只能和攜帶色荷的粒子產(chǎn)生直接相互作用，但引力則可以和任意粒子直接耦合，這導(dǎo)致引力形狀因子相比于規(guī)范形狀因子會(huì)產(chǎn)生額外的新傳播子，也就是新的物理極點(diǎn)。
圖3：規(guī)范場(chǎng)中的偽極點(diǎn)通過平方關(guān)系成為引力理論中的物理極點(diǎn)。
研究進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)，即便上面提到的“偽”極點(diǎn)在規(guī)范場(chǎng)形狀因子中是隱藏的，其特殊性也并非無中生有。具體而言，規(guī)范場(chǎng)形狀因子在“偽”極點(diǎn)上具有隱藏的因子化性質(zhì)，而類似的因子化行為通常只在對(duì)物理極點(diǎn)處的發(fā)散取留數(shù)時(shí)才會(huì)出現(xiàn)。此外，這一研究也首次將平方關(guān)系推廣到了外線包含色單態(tài)粒子的散射振幅，因?yàn)橐?guī)范不變算符可以等效為色單態(tài)粒子。這類振幅的一個(gè)重要例子就是希格斯粒子和夸克、膠子的散射振幅。感興趣的讀者可以繼續(xù)參閱關(guān)于這一工作的長文章詳細(xì)介紹[3]。
形狀因子的平方關(guān)系如何推廣到圈圖？形狀因子在偽極點(diǎn)的隱藏因子化性質(zhì)如何理解？場(chǎng)論中形狀因子的平方關(guān)系是否可以推廣到弦理論中？這些都是有待進(jìn)一步研究的問題。這些研究將有助于更好地理解平方關(guān)系，從而更好地理解規(guī)范場(chǎng)和引力之間的聯(lián)系和統(tǒng)一。
這一成果近期發(fā)表于Physical Review Letters (Vol. 129, 251601, 2022)。該工作得到了國家自然科學(xué)基金、中科院先導(dǎo)培育項(xiàng)目等資助。
參考文獻(xiàn)
[1] H. Kawai, D. Lewellen, H. Tye, “A Relation Between Tree Amplitudes of Closed and Open Strings”, Nucl.Phys.B 269 (1986) 1-23.
[2] Z. Bern, J. Carrasco, and H. Johansson, “New Relations for Gauge-Theory Amplitudes”, Phys. Rev. D78 (2008) 085011.
[3] G. Lin, G. Yang, “Double copy for tree-level form factors I: foundations”, arXiv: 2211.01386.