量子場論中的振幅體：從SYM到ABJM
20世紀(jì)物理學(xué)兩大革命（狹義相對論和量子力學(xué)）結(jié)合的產(chǎn)物--量子場論已被公認(rèn)為描述自然的基本理論框架，以此為基礎(chǔ)的粒子物理標(biāo)準(zhǔn)模型得到了廣泛的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。散射振幅作為量子場論中核心的觀測量，搭建起了聯(lián)系理論與實(shí)驗(yàn)的主要橋梁。其原始動機(jī)來源于在對比理論與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)方面的重要應(yīng)用價(jià)值：無論是現(xiàn)有的還是未來的高能實(shí)驗(yàn)，都需要更加精確、快速地計(jì)算場論振幅；引力和彎曲時空場論的微擾計(jì)算對引力波、早期宇宙等物理也有重要意義。在應(yīng)對高精度計(jì)算的挑戰(zhàn)中，人們發(fā)展了比費(fèi)曼圖更有效的微擾計(jì)算方法（例如在殼方法），揭示了在傳統(tǒng)場論框架中很難理解的新結(jié)構(gòu)（例如規(guī)范場、引力和弦論隱藏對稱性及其內(nèi)在聯(lián)系），乃至發(fā)現(xiàn)了振幅新的表述形式（例如CHY形式、振幅體等）。近年來相關(guān)研究進(jìn)展極其迅速，已成為最受關(guān)注的理論方向之一。
散射振幅相關(guān)方向的進(jìn)展促使我們重新思考諸如規(guī)范不變性、定域性、因果律、時空等基本概念，甚至在特定理論中找到了量子場論新的表述形式。2013年，Nima Arkani-Hamed等對于四維平面極限下的最大超對稱規(guī)范場論（SYM）這一簡單但依然具有豐富結(jié)構(gòu)的理論找到了新的表述形式；他們將振幅與一個幾何體——振幅體（Amplituhedron）[1] 聯(lián)系起來，其“體積”形式（canonical form）在任意圈都給出了這一規(guī)范場論的被積函數(shù)！更重要的是，振幅體在其邊界上的因子化行為對應(yīng)著振幅在極點(diǎn)上的因子化：這不僅使得我們第一次可以原則上得到該理論任意圈被積函數(shù)，還實(shí)現(xiàn)了傳統(tǒng)費(fèi)曼圖很難顯明看出的幺正性和對稱性。自此之后，人們繼續(xù)尋找振幅體在更一般理論中的推廣，如標(biāo)量理論對應(yīng)于結(jié)合體（Associahedron）[2]。在這些幾何表述中，滿足相對論和量子力學(xué)原理的散射振幅會自然出現(xiàn)，從而在實(shí)現(xiàn)了量子場和時空本身的涌現(xiàn) (emergence)。這些進(jìn)展深化了我們對基礎(chǔ)理論的理解，催生了新的數(shù)學(xué)方向，并為從場論出發(fā)解決量子引力問題提供了新的思路。
圖1: SYM的振幅體示意圖（左）、標(biāo)量場對應(yīng)的結(jié)合體（右）
對于SYM的振幅體，盡管幺正性等可以被顯明展現(xiàn)，真正從其出發(fā)直接計(jì)算高圈被積函數(shù)依然是很困難的事情。2020年，人們對四維四點(diǎn)的振幅提出了“負(fù)幾何”并給出了一種新的圖論方法簡化了高圈的計(jì)算[3]：四點(diǎn)振幅的對數(shù)到任意圈都由所有連通圖的負(fù)幾何求和給出。最近，中科院理論物理所的何頌研究員，博士生李振杰、張耀奇，與臺大的博士生郭家愷發(fā)現(xiàn)：如果把四維運(yùn)動學(xué)變量投影到三維，那么負(fù)幾何的計(jì)算將極大簡化——與之前的全部連通圖求和不同，現(xiàn)在只需要對其中的連通二分(bipartite)圖做求和，同時其正則形式也更容易計(jì)算。
圖2：四圈振幅可由三種連通二分圖得到
令人驚訝的是，投影后這一新的幾何模型不僅僅只是數(shù)學(xué)上原有振幅體的簡化，而在物理上恰好得到了三維超共形陳-西蒙斯理論，即ABJM理論（Aharony-Bergman-Jafferis-Maldacena）[4]的振幅！這一新的計(jì)算方法也使得四點(diǎn)ABJM被積函數(shù)的計(jì)算被推進(jìn)到了至少五圈（以及無窮多的任意圈幺正切割結(jié)果），同時也在幾何上對振幅體背后的物理和數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的研究提供了新的啟發(fā)（如三維和四維任意圈振幅的幺正性可以從這對幾何模型中統(tǒng)一推導(dǎo)出來）。更進(jìn)一步地，這一研究暗示了SYM理論與ABJM理論這兩個重要的量子場論之間存在著某種深刻的關(guān)系；未來也許可以從幾何出發(fā)更好地理解它們所處的AdS/CFT對應(yīng)，以及相應(yīng)的弦論（M理論）中的物理。
該研究成果近日發(fā)表在Phys. Rev. Lett. 129 (2022) 221604上。相關(guān)工作得到了國家自然科學(xué)基金重點(diǎn)項(xiàng)目的資助。
參考文獻(xiàn)
[1] Arkani-Hamed N, Trnka J. The amplituhedron. Journal of High Energy Physics, 2014, 2014(10): 1-33.
[2] Arkani-Hamed N, Bai Y, He S, et al. Scattering forms and the positive geometry of kinematics, color and the worldsheet. Journal of High Energy Physics, 2018, 2018(5): 1-78.
[3] Arkani-Hamed N, Henn J, Trnka J. Nonperturbative negative geometries: amplitudes at strong coupling and the amplituhedron. Journal of High Energy Physics, 2022, 2022(3): 1-39.
[4] Aharony O, Bergman O, Jafferis D L, et al.